---

HODNOST

Aplikace elementárních kroků GEM nijak nemění lineární obal souboru řádků matice

Nechť je matice v horním stupňovitém tvaru s právě k nenulovými řádky. Pak h(A)=k

Hodnosti matice se nemění při transpozici

Násobení matice řádkem nebo sloupečkem

Hodnost součinu dvou matic

---

REGULARITA

Inverzní matice je určena jednoznačně

Je-li A,B regulární, pak A*B je také regulární

Transpozice regulární matice je také regulární

Je-li A~B, pak existuje regulární matice P taková, že B=PA

A je regulární / h(A) = n / A~E

Násobením regulární maticí se hodnost nezmění

Existuje-li B taková, že platí AB=E nebo BA=E, potom je A regulární a B=A⁻¹

---

FROBENIOVA VĚTA

Důkaz Frobeniovy věty

Důkazy pro lineární variety

P je podprostorem právě tehdy, když existuje homogenní soustava lineárních rovnic Ax=θ, jejíž množinou řešení je P

M je lineární varietou právě tehdy, když existuje soustava lineárních rovnic Ax=b, jejíž množinou řešení je M

---

DETERMINANT

Důkazy pro determinant

Důkazy pro změny determinantu v závislosti na operacích GEM

Vztahy mezi determinanty dvou různých matic

Matice je regulární, právě když má nenulový determinant

Determinant násobku dvou matic

Determinant matice je rovný determinantu transponované matice

Důkaz, že funguje rozvoj determinantu podle řádku a sloupce

Shrnutí vlastností determinantu

---

VLASTNÍ ČÍSLA

Vlastní podprostor není dán jednoznačně

Zobrazení pA je polynom stupně n

Číslo λ je vlastním číslem matice právě když je kořenem charakteristického polynomu

Geometrická násobnost je menší nebo rovna algebraické

Základní věta algebry a věty pro komplexní polynomy

---

PODOBNOST

Relace podobnosti (vlastnosti)

Jsou-li matice podobné, potom mají stejný determinant

Charakteristické polynomy pro podobné matice jsou stejné
Spektra pro podoné matice jsou stejné
Násobnosti pro podobné matice jsou stejné

Podobnost s diagonální maticí

Soubor vlastních vektorů je LN

Důkazy o diagonalizovatelnosti matice